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Linear algebra

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Column space 이번 포스팅에서는 열공간 그리고 열공간의 기저에 대해서 살펴보겠습니다. 1. 행렬의 계수 열공간을 살펴보기에 앞서 행렬의 계수($rank$)에 대해서 알아보도록 하겠습니다. 행렬 $A$의 선형독립인 행벡터(또는 열벡터)의 최대 개수를 행렬 $A$의 계수($rank$)라 하고 $rank(A)$로 표기합니다. 주어진 행렬 $A$에 대해서 $rank$를 확인하기 위해 보통 기본행 연산을 통해 $A$를 가우스 행렬로 변환합니다. 그 결과 영행이 아닌 행(열)의 개수가 정의에 따라 $rank(A)$에 해당합니다. $rank$는 행렬식과 함께 연립방정식에서 해의 존재 유무를 판단할 때 유용하게 사용됩니다. 행렬 방정식 $AX = B$가 존재할 때 $rank(A) = rank(A|B) = A$의 차원이라면 그 해는 ..
Basis 기저는 선형독립과 아주 밀접한 연관성을 가집니다. 먼저 기저(basis)는 벡터공간 $V$에 대하여 $V$의 모든 원소를 선형결합으로 유일하게 표현하는 선형독립인 벡터를 의미합니다. 기저의 정의는 다음과 같습니다. 1. 기저의 정의 벡터공간 $V$의 벡터집합 $S = \{v_1, v_2, ... , v_n\}$이 존재할 때 $S$가 선형독립이며, 벡터공간 $V$를 생성($span$)할 때 $S$를 $V$의 기저(basis)라고 합니다. 즉, 벡터공간 전체를 생성하는 선형독립인 벡터들을 바로 기저라고 합니다. 그 정의에 따라 우리는 기저가 벡터공간을 생성하기 위해 필요한 최소한의 벡터임을 알 수 있습니다. 2. 기저의 특징 앞서 설명한 바와 같이 기저는 벡터공간 $V$에 대하여 $V$의 모든 원소를 선형결..
Linearly independent 선형독립(linearly independent)과 선형종속(linearly dependent)은 선형대수학에서 가장 기본이 되는 개념이라고 할 수 있습니다. 선형독립은 일차독립, 일차종속이라고도 불리는데, 이는 차원(dimension)과 기저(basis)를 포함한 개념을 공부하는데 기본이 됩니다. 1. 선형독립과 선형종속의 정의 벡터집합 $S = \{u_1, u_2, u_3, ... , u_n\}$과 실수 $k_1, k_2, k_3, ... , k_n$에 대하여 $k_1u_1 + k_2u_2 + ... + k_nu_n = 0$ 을 만족하는 해가 $k_1 = k_2 = ... = k_n = 0$으로 유일하다면 벡터집합 $S$를 선형독립이라고 합니다. 반대의 경우 $k_1 = k_2 = ... = k_n =..

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