이번 포스팅에서는 열공간 그리고 열공간의 기저에 대해서 살펴보겠습니다.
1. 행렬의 계수
열공간을 살펴보기에 앞서 행렬의 계수(rank)에 대해서 알아보도록 하겠습니다.
행렬 A의 선형독립인 행벡터(또는 열벡터)의 최대 개수를 행렬 A의 계수(rank)라 하고 rank(A)로 표기합니다.
주어진 행렬 A에 대해서 rank를 확인하기 위해 보통 기본행 연산을 통해 A를 가우스 행렬로 변환합니다. 그 결과 영행이 아닌 행(열)의 개수가 정의에 따라 rank(A)에 해당합니다. rank는 행렬식과 함께 연립방정식에서 해의 존재 유무를 판단할 때 유용하게 사용됩니다. 행렬 방정식 AX=B가 존재할 때 rank(A)=rank(A|B)=A의 차원이라면 그 해는 유일합니다. 이와 달리 rank(A)=rank(A|B)<A의 차원이라면 그 해는 무수히 많습니다. 그리고 rank(A)≠rank(A|B)라면 자명하게 해는 존재하지 않습니다.
2. 행공간과 열공간의 정의

m×n 행렬 A에 대하여 A의 행벡터가 생성하는 Rn의 부분공간을 A의 행공간(row space)이라고 하고, m×n 행렬 A에 대하여 A의 열벡터가 생성하는 Rm의 부분공간을 A의 열공간(column space)이라고 합니다.
이에 따라서 행렬 A의 열벡터가 선형결합을 통해 생성하는 모든 벡터집합은 A의 열공간이라고 할 수 있습니다.
AX=B 형태의 행렬 방정식의 해에 따라서 벡터 B가 A로부터 생성되는 가를 판단할 수 있습니다.
해의 유무를 판단하기 위하여 가우스 소거법을 사용하도록 하겠습니다. (rank(A)와 rank(A|B)를 비교합니다.)AX=B=[125026138][x1x2x3]=[3108]
[125|3026|10138|8]⟶[125|3026|10013|5]⟶[125|3013|5013|5]⟶[125|3013|5000|0]
rank(A)=rank(A|B)=2
rank(A)=rank(A|B)이므로 B는 A로부터 생성됩니다. AX=B가 해를 갖는다는 명제는 아래의 명제들과 동치입니다.
B가 A의 선형결합으로서 표현된다. ⟷ A가 B를 생성한다. ⟷ B가 A의 열공간에 속한다.
3. 열공간의 기저
Rm의 부분공간, 열공간을 생성하는 선형독립인 벡터집합을 열공간의 기저라고 합니다. m×n 행렬 A의 열공간의 기저를 찾기 위해서는 가우스 소거법을 이용합니다.
A=(u1,u2,u3,u4,u5)=[11−20−1−2−24−6266−30300222]
⟶...⟶[11−20−1001110001000000]=R
위 행렬에서 leading entry가 1인 열벡터 u1,u3,u4가 열공간의 기저입니다. 열벡터 u2,u5는 기저 벡터의 선형결합으로서 표현된다고 할 수 있습니다.(u2=u1,u5=u1+u3) 이에 따라서 A의 열공간은 span{u1,u3,u4}가 되고, 열공간의 기저는 u1,u3,u4가 됩니다. 하지만 가우스 소거법으로 얻어진 R의 열공간은 span{(1,0,0,0),(−2,1,0,0),(0,1,1,0)}이고, 열공간의 기저는 (1,0,0,0),(−2,1,0,0),(0,1,1,0)입니다. 즉, A의 열공간과 기본행 연산을 통하여 생성한 R은 열공간이 동일하지 않다는 것에 유의해야 합니다.
이제 차원에 대하여 생각해보겠습니다. 우리는 A에 가우스 소거법을 수행하여 R을 유도하였고, leading entry를 통해서 열공간의 기저를 구할 수 있었습니다. R은 A에 대한 기본행 연산을 통하여 생성되었기 때문에 둘은 행상등입니다. 행상등이면 차원은 동일하기 때문에 A의 행공간과 R의 행공간은 차원이 같습니다. 가우스 행렬에서 leading entry가 1인 행벡터의 수와 열벡터의 수는 항상 동일합니다. 이에 따라서 R의 행공간과 열공간의 차원이 같음을 알 수 있으며, A의 행공간과 열공간의 또한 동일하다는 것을 알 수 있습니다.
그러므로, dim(A의 행공간) = dim(A의 열공간)
dim(A의 열공간) = dim(R의 열공간)
dim(A의 행공간) = dim(R의 행공간)
dim(R의 행공간) = dim(R의 열공간)
dim(A의 행공간) = dim(A의 열공간) 입니다.
이렇게 열공간에 대해서 살펴보았습니다. 다음 포스팅에서는 이를 바탕으로 차원정리(rank-nullity theorem)와 행공간(row space), 영공간(null space)에 대해서 공부해보겠습니다. 질문이나 지적 사항은 댓글로 남겨주시면 감사하겠습니다.
'Linear algebra' 카테고리의 다른 글
Basis (0) | 2021.07.13 |
---|---|
Linearly independent (0) | 2021.07.12 |