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이번 포스팅에서는 열공간 그리고 열공간의 기저에 대해서 살펴보겠습니다.

1. 행렬의 계수

열공간을 살펴보기에 앞서 행렬의 계수($rank$)에 대해서 알아보도록 하겠습니다.

행렬 $A$의 선형독립인 행벡터(또는 열벡터)의 최대 개수를 행렬 $A$의 계수($rank$)라 하고 $rank(A)$로 표기합니다.

주어진 행렬 $A$에 대해서 $rank$를 확인하기 위해 보통 기본행 연산을 통해 $A$를 가우스 행렬로 변환합니다. 그 결과 영행이 아닌 행(열)의 개수가 정의에 따라 $rank(A)$에 해당합니다. $rank$는 행렬식과 함께 연립방정식에서 해의 존재 유무를 판단할 때 유용하게 사용됩니다. 행렬 방정식 $AX = B$가 존재할 때 $rank(A) = rank(A|B) = A$의 차원이라면 그 해는 유일합니다. 이와 달리 $rank(A) = rank(A|B) < A$의 차원이라면 그 해는 무수히 많습니다. 그리고 $rank(A) \neq rank(A|B)$라면 자명하게 해는 존재하지 않습니다.

 

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2. 행공간과 열공간의 정의

$m \times n$ 행렬 $A$에 대하여 $A$의 행벡터가 생성하는 $R^n$의 부분공간을 A의 행공간(row space)이라고 하고, $m \times n$ 행렬 $A$에 대하여 $A$의 열벡터가 생성하는 $R^m$의 부분공간을 A의 열공간(column space)이라고 합니다.

이에 따라서 행렬 $A$의 열벡터가 선형결합을 통해 생성하는 모든 벡터집합은 $A$의 열공간이라고 할 수 있습니다.

$AX = B$ 형태의 행렬 방정식의 해에 따라서 벡터 $B$가 $A$로부터 생성되는 가를 판단할 수 있습니다.
해의 유무를 판단하기 위하여 가우스 소거법을 사용하도록 하겠습니다. ($rank(A)$와 $rank(A|B)$를 비교합니다.)

$$AX = B = \begin{bmatrix} 1&2&5\\0&2&6\\1&3&8 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1\\x_2\\x_3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 3\\10\\8 \end{bmatrix}$$

$$\begin{bmatrix} 1&2&5&|&3\\0&2&6&|&10\\1&3&8&|&8 \end{bmatrix} \longrightarrow \begin{bmatrix} 1&2&5&|&3\\0&2&6&|&10\\0&1&3&|&5 \end{bmatrix} \longrightarrow \begin{bmatrix} 1&2&5&|&3\\0&1&3&|&5\\0&1&3&|&5 \end{bmatrix} \longrightarrow \begin{bmatrix} 1&2&5&|&3\\0&1&3&|&5\\0&0&0&|&0 \end{bmatrix}$$

$$rank(A) = rank(A|B) = 2$$

$rank(A) = rank(A|B)$이므로 $B$는 $A$로부터 생성됩니다. $AX=B$가 해를 갖는다는 명제는 아래의 명제들과 동치입니다.

$B$가 $A$의 선형결합으로서 표현된다. $\longleftrightarrow$ $A$가 $B$를 생성한다. $\longleftrightarrow$ $B$가 $A$의 열공간에 속한다.

 

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3. 열공간의 기저

$R^m$의 부분공간, 열공간을 생성하는 선형독립인 벡터집합을 열공간의 기저라고 합니다. $m \times n$ 행렬 $A$의 열공간의 기저를 찾기 위해서는 가우스 소거법을 이용합니다.

$$A = (u_1, u_2, u_3, u_4, u_5) = \begin{bmatrix} 1 & 1 & -2 & 0 & -1 \\ -2 & -2 & 4 & -6 & 2 \\ 6 & 6 & -3 & 0 & 3 \\ 0 & 0 & 2 & 2 & 2 \end{bmatrix}$$

$$\longrightarrow \quad.\quad.\quad.\quad \longrightarrow \begin{bmatrix} 1 & 1 & -2 & 0 & -1 \\ 0 & 0 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix} = R$$

 

 위 행렬에서 leading entry가 1인 열벡터 $u_1, u_3, u_4$가 열공간의 기저입니다. 열벡터 $u_2, u_5$는 기저 벡터의 선형결합으로서 표현된다고 할 수 있습니다.($u_2 = u_1, u_5 = u_1 + u_3$) 이에 따라서 $A$의 열공간은 $span\{u_1, u_3, u_4\}$가 되고, 열공간의 기저는 $u_1, u_3, u_4$가 됩니다. 하지만 가우스 소거법으로 얻어진 $R$의 열공간은  $span\{(1,0,0,0), (-2,1,0,0), (0,1,1,0)\}$이고, 열공간의 기저는 $(1,0,0,0), (-2,1,0,0), (0,1,1,0)$입니다. 즉, $A$의 열공간과 기본행 연산을 통하여 생성한 $R$은 열공간이 동일하지 않다는 것에 유의해야 합니다.

 

이제 차원에 대하여 생각해보겠습니다. 우리는 A에 가우스 소거법을 수행하여 $R$을 유도하였고, leading entry를 통해서 열공간의 기저를 구할 수 있었습니다. $R$은 $A$에 대한 기본행 연산을 통하여 생성되었기 때문에 둘은 행상등입니다. 행상등이면 차원은 동일하기 때문에 A의 행공간과 $R$의 행공간은 차원이 같습니다. 가우스 행렬에서 leading entry가 1인 행벡터의 수와 열벡터의 수는 항상 동일합니다. 이에 따라서 $R$의 행공간과 열공간의 차원이 같음을 알 수 있으며, A의 행공간과 열공간의 또한 동일하다는 것을 알 수 있습니다. 

 

그러므로, dim($A$의 행공간) = dim($A$의 열공간)

dim($A$의 열공간) = dim($R$의 열공간)

dim($A$의 행공간) = dim($R$의 행공간)

dim($R$의 행공간) = dim($R$의 열공간)

dim($A$의 행공간) = dim($A$의 열공간) 입니다.

 

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이렇게 열공간에 대해서 살펴보았습니다. 다음 포스팅에서는 이를 바탕으로 차원정리(rank-nullity theorem)와 행공간(row space), 영공간(null space)에 대해서 공부해보겠습니다. 질문이나 지적 사항은 댓글로 남겨주시면 감사하겠습니다.