Linearly independent

선형독립(linearly independent)과 선형종속(linearly dependent)은 선형대수학에서 가장 기본이 되는 개념이라고 할 수 있습니다. 선형독립은 일차독립, 일차종속이라고도 불리는데, 이는 차원(dimension)과 기저(basis)를 포함한 개념을 공부하는데 기본이 됩니다.

1. 선형독립과 선형종속의 정의

벡터집합 $S = \{u_1, u_2, u_3, ... , u_n\}$과 실수 $k_1, k_2, k_3, ... , k_n$에 대하여 $k_1u_1 + k_2u_2 + ... + k_nu_n = 0$ 을 만족하는 해가 $k_1 = k_2 = ... = k_n = 0$으로 유일하다면 벡터집합 $S$를 선형독립이라고 합니다. 반대의 경우 $k_1 = k_2 = ... = k_n = 0$ 이외의 해가 존재할 때 벡터집합 $S$를 선형종속이라고 합니다.

 

이를 달리 이야기 하자면, 선형독립의 의미는 아래와 같습니다.

벡터집합 $S$의 어떠한 원소도 나머지 원소들의 선형결합으로 나타낼 수 없다.

 

마찬가지로 선형종속의 의미는 아래와 같습니다.

벡터집합 $S$의 원소 중 적어도 하나는 나머지 원소들의 선형결합으로 나타낼 수 있다.

즉, 이는 어떠한 특정 벡터가 나머지 벡터에 의존하여 영향을 받는다고 할 수 있습니다.

위 의미 자체가 각각의 필요충분조건이라고 할 수 있습니다.

 

그림. 1 선형종속(좌)과 선형독립(우)

 

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2. 행렬을 통해 바라본 선형독립

$n$차원 벡터 공간의 벡터집합 $A = \{u_1, u_2, u_3, ... , u_n\}$와 실수 $k_1, k_2, k_3, ... , k_n$에 대하여 $k_1u_1 + k_2u_2 + ... + k_nu_n = 0$을 행렬을 통해 아레와 같이 표현할 수 있습니다.

$A = (u_1, u_2, u_3, ... , u_n)$, $X = (k_1, k_2, k_3, ... , k_n)$라 할때,

$$AX = \begin{bmatrix} a_{11}&a_{12}&...&a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&...&a_{2n}\\...&...&...&...\\a_{n1}&a_{n2}&...&a_{nn} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} k_{1}\\k_{2}\\...\\k_{n} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0\\0\\...\\0 \end{bmatrix}$$

만약 $AX = 0$에서 $A$가 가역이라면, ($det(A) \neq 0)$
$X = (0,0, ... , 0)^T$으로 유일한 해를 갖습니다. 그러므로 벡터집합 $A$는 선형독립입니다.

반대로 $AX = 0$에서 $A$가 가역이 아니라면, ($det(A) = 0)$
$X = (0,0, ... , 0)^T$이외의 해를 갖습니다. 그러므로 벡터집합 $A$는 선형종속입니다.

 

추가적으로 우리는 방정식 $AX=B$ 형태의 확대행렬에 기본행 연산을 실시하여 해의 개수를 구할 수 있으며, 이를 통해 $A$의 선형독립을 조사할 수 있습니다. 하지만 기본행 연산을 실시하지 않고도 선형종속임을 밝힐 수 있는 경우들이 존재합니다. 이는 다음과 같습니다. 

 

2-1. 벡터의 차원보다 벡터의 개수가 많은 경우

$$AX = \begin{bmatrix} 1&1&-2&0&-1\\-2&-2&4&-6&2\\6&6&-3&0&3\\0&0&2&2&2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} k_1\\k_2\\k_3\\k_4\\k_5 \end{bmatrix} = 0$$
$$= \begin{bmatrix} 1&1&-2&0&-1\\0&0&1&1&1\\0&0&0&1&0\\0&0&0&0&0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} k_1\\k_2\\k_3\\k_4\\k_5 \end{bmatrix} = 0$$

 

이 경우는 벡터집합 A의 차원보다 벡터의 개수가 많은 것이 자명합니다. 벡터의 개수는 5개이지만, 차원은 4개입니다. 이를 방정식 측면에서 풀어서 이야기 하자면, 미지수의 개수가 방정식의 개수보다 많다고 할 수 있습니다. 그러므로 위 방정식은 유일한 해를 가질 수 없습니다. 따라서 이러한 형태의 벡터집합은 선형종속에 해당합니다.

 

2-2. 어떤 벡터의 실수 배인 벡터가 존재하는 경우

이 경우는 기본행 연산을 수행하게 되면 행렬식의 값이 0이 됨을 직관적으로 파악할 수 있습니다. 또한 이는 방정식의 측면에서 생각해보자면 제한된 방정식의 개수에서 어떠한 수식이 중복됨을 의미하므로 유일한 해를 갖을 수 없습니다. 따라서 이러한 형태의 벡터집합 또한 선형종속에 해당합니다.

 

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이렇게 선형독립과 선형종속을 간단하게 살펴보았습니다. 다음으로는 기저(basis)에 관해 살펴보겠습니다. 질문이나 지적 사항은 댓글로 남겨주시면 감사하겠습니다.