Basis

기저는 선형독립과 아주 밀접한 연관성을 가집니다. 먼저 기저(basis)는 벡터공간 $V$에 대하여 $V$의 모든 원소를 선형결합으로 유일하게 표현하는 선형독립인 벡터를 의미합니다. 기저의 정의는 다음과 같습니다.

 

1. 기저의 정의

벡터공간 $V$의 벡터집합 $S = \{v_1, v_2, ... , v_n\}$이 존재할 때
$S$가 선형독립이며, 벡터공간 $V$를 생성($span$)할 때 $S$를 $V$의 기저(basis)라고 합니다.

즉, 벡터공간 전체를 생성하는 선형독립인 벡터들을 바로 기저라고 합니다. 그 정의에 따라 우리는 기저가 벡터공간을 생성하기 위해 필요한 최소한의 벡터임을 알 수 있습니다.

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2. 기저의 특징

앞서 설명한 바와 같이 기저는 벡터공간 $V$에 대하여 $V$의 모든 원소를 선형결합으로 유일하게 표현하는 선형독립인 벡터를 의미합니다. 기저는 그 정의에 따라 주목할만한 특징을 가집니다.

 

2-1. 기저 표현의 유일성

벡터집합 $S = \{v_1, v_2, ... , v_n\}$가 벡터공간 $V$의 기저일 때 $V$의 임의의 원소 $u$는 $u = k_1u_1 + k_2u_2 + ... + k_nu_n$ 형태의 선형결합으로 유일하게 표현됩니다. 기저는 벡터공간의 모든 원소를 생성할 수있는데, 그 기저에 있어서 특정 원소를 생성하는 방법은 딱 1가지 뿐입니다. 이를 선형독립의 정의를 이용하여 증명해보자면 아래와 같습니다.

벡터집합 $S = \{v_1, v_2, ... , v_n\}$가 벡터공간 $V$의 기저일 때 $V$의 임의의 원소 $u$는 선형결합으로 표시됩니다.

$u = a_1v_1 + a_2v_2 + ... + a_nv_n$ . . . ⓐ

$u = b_1v_1 + b_2v_2 + ... + b_nv_n$ . . . ⓑ

ⓐ - ⓑ $= (a_1-b_1)v_1 + (a_2-b_2)v_2 + ... + (a_n-b_n)v_n = 0 $

이때 벡터집합 $S$는 기저의 정의에 따라 선형독립이므로 $a_1=b_1, a_2=b_2, ... , a_n = b_n$입니다. 
그러므로 벡터공간 $V$의 임의의 원소$u$의 표현은 유일합니다.

 

2-2. 기저 개수의 동일성

벡터집합 $V$의 모든 기저는 같은 개수의 벡터를 가집니다. 이를 모순법을 통하여 증명하도록 하겠습니다.

벡터공간 $V$의 기저를 $v_1, v_2, ... , v_n$과 $u_1, u_2, ... , u_m$라고 하고, $m > n$이라고 가정합니다.
기저 또한 벡터공간에 속하는 벡터이므로 $v_1, v_2, ... , v_n$는 $u_1, u_2, ... , u_m$를 생성할 수 있습니다.

$u_1 = a_{11}v_1 + a_{12}v_2 + ... + a_{1n}v_n$

$u_2 = a_{21}v_1 + a_{22}v_2 + ... + a_{2n}v_n$

$ . . . $

$u_m = a_{m1}v_1 + a_{m2}v_2 + ... + a_{mn}v_n$ . . . ⓐ

$k_1u_1 + k_2u_2 + ... + k_nu_n = 0$ . . . ⓑ
(ⓑ : $u$를 통해서 영벡터를 생성합니다.)

ⓑ에 ⓐ를 대입하면 다음과 같습니다.
$k_1(a_{11}v_1 + a_{12}v_2 + ... + a_{1n}v_n)$ + $k_2(a_{21}v_1 + a_{22}v_2 + ... + a_{2n}v_n)$ + . . . +$k_n(a_{m1}v_1 + a_{m2}v_2 + ... + a_{mn}v_n) = 0$

이를 $v_1, v_2, ... , v_n$로 묶어 정리하면 다음과 같습니다.
$(a_{11}k_1 + a_{21}k_2 + . . . + a_{m1}k_n)v_1$ + $(a_{12}k_1 + a_{22}k_2 + . . . + a_{m2}k_n)v_2$ + . . . +
$(a_{1n}k_1 + a_{2n}k_2 + . . . + a_{mn}k_n)v_n$ =0

$v_1, v_2, ... , v_n$는 기저이므로 선형독립입니다. 이에 따라 위 연립방정식을 $AX=0$ 형태의 행렬의 곱으로 나타내었을 때 유일한 해 $X = (0,0, . . . , 0)^T$를 가져야 합니다. 이를 확대 행렬로 나타내면 다음과 같습니다.

$$AX = \begin{bmatrix} a_{11}&a_{12}&...&a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&...&a_{2n}\\...&...&...&...\\a_{m1}&a_{m2}&...&a_{mn} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} k_{1}\\k_{2}\\...\\k_{n} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0\\0\\...\\0 \end{bmatrix}  $$

가정에서 $m > n$이라고 했으므로 벡터의 차원이 벡터의 개수보다 많습니다.
저번 포스팅에서 살펴보았던 바와 같이 이 경우 $AX=0$를 만족하는 해는 무수히 많으므로 선형종속에 해당합니다. 이에 따라$v_1, v_2, ... , v_n$는 기저의 정의에 어긋납니다. 그러므로 모든 기저는 동일한 개수의 벡터를 가져야 함을 알 수 있습니다.

 

 

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이렇게 기저의 정의와 따라서 결정되는 특징들을 알아보았습니다. 다음으로는 열공간(column space)에 관해 살펴보겠습니다. 질문이나 지적 사항은 댓글로 남겨주시면 감사하겠습니다.